背包问题 | Hexo

[TOC]

1. 01背包问题

有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

输入样例

输出样例：

import java.util.*;
import java.util.Scanner;

public class Main{
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        // 读入数据的代码
        Scanner reader = new Scanner(System.in);
        // 物品的数量为N
        int N = reader.nextInt();
        // 背包的容量为V
        int V = reader.nextInt();
        // 一个长度为N的数组，第i个元素表示第i个物品的体积；
        int[] v = new int[N + 1] ;
        // 一个长度为N的数组，第i个元素表示第i个物品的价值；
        int[] w = new int[N + 1] ;

        for (int i=1 ; i <= N ; i++){
            // 接下来有 N 行，每行有两个整数:v[i],w[i]，用空格隔开，分别表示第i件物品的体积和价值
            v[i] = reader.nextInt();
            w[i] = reader.nextInt();
        }
        reader.close() ;

        // 正式工作的代码
        /*
        定义一个二阶矩阵dp[N+1][V+1],
        这里之所以要N+1和V+1，是因为第0行表示只能选择第0个物品的时候，即没有物品的时候
        第0列表示背包的体积为0的时候，即不能装任何东西的时候

        dp[i][j]表示在 只能选择前i个物品，背包容量为j的情况下，背包中物品的最大价值
        对于dp[i][j]有两种情况：
        1. 不选择当前的第i件物品/第i件物品比背包容量要大，则dp[i][j] = dp[i-1][j]
        2. 选择当前的第i件物品（潜在要求第i件物品体积小于等于背包总容量），则能装入的物品最大价值为：
            当前物品的价值 加上 背包剩余容量在只能选前i-1件物品的情况下的最大价值
            dp[i][j] = dp[i-1][j-v[i]] + w[i]
        dp[i][j]在两种情况中选择比较大的情况作为当前的最优解；
        即：
        if(j >= v[i]):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])
        else:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
        */
        int[][] dp = new int[N+1][V+1];
        dp[0][0] = 0;
        for(int i = 1; i <= N; i++){
            for(int j = 0; j <= V; j++){
                if(j >= v[i]){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[N][V]);
    }
}

优化后代码

import java.util.Scanner;

public class Main{
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        // 读入数据的代码
        Scanner reader = new Scanner(System.in);
        // 物品的数量为N
        int N = reader.nextInt();
        // 背包的容量为V
        int V = reader.nextInt();
        // 一个长度为N的数组，第i个元素表示第i个物品的体积；
        int[] v = new int[N + 1] ;
        // 一个长度为N的数组，第i个元素表示第i个物品的价值；
        int[] w = new int[N + 1] ;
        for (int i=1 ; i <= N ; i++){
            // 接下来有 N 行，每行有两个整数:v[i],w[i]，用空格隔开，分别表示第i件物品的体积和价值
            v[i] = reader.nextInt();
            w[i] = reader.nextInt();
        }
    reader.close() ;

    // 正式算法的代码
    // 将dp优化为一维数组
    /*
    注意，这里第二层循环的时候，还是小到大循环的话，那么

    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])
    实际上变成了
    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j-v[i]] + w[i]);

    因为i-1的值已经在前面被更新过了，覆盖了
    为了避免这个问题，所以要逆序更新，即先更新第i个，然后更新第i-1个，从而保证第i-1个不被覆盖

    如果不逆序的话，输出结果为10，dp数组实际为：
    0 0 0 0 0 0 
    0 2 4 6 8 10
    0 2 4 6 8 10
    0 2 4 6 8 10
    0 2 4 6 8 10
    */
    int[] dp = new int[V+1];
    dp[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        for(int j = V; j >= v[i]; j--){
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-v[i]] + w[i]);
        }
        // for(int j = 0; j <= V; j++){
        //     System.out.print(dp[j]);
        //     System.out.print(" ");
        // }
        // System.out.print("\n");
    }
    System.out.println(dp[V]);
 }
}

2.完全背包问题

有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 ii 种物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。